# 离散概率()-其他

## 离散概率()

### 全概率定理

$$\forall B, \Pr(B)=\sum\limits_{i=1}^{n}\Pr(B \cap E_i)=\sum\limits_{i=1}^{n}\Pr(B|E_i)\cdot \Pr(E_i)$$。

### 贝叶斯定理

$$\Pr(E_j|B)=\dfrac{\Pr(E_j \cap B)}{\Pr(B)}=\dfrac{\Pr(E_j \cap B)}{\sum\limits_{i=1}^{n}\Pr(B|E_i)\cdot \Pr(E_i)}$$

### 二项分布

$$\Pr(Y=i)=\dbinom{n}{i}p^i(1-p)^{n-i}$$

\begin{aligned}E[Y]&=\sum\limits_{i=0}^{n}i\dbinom{n}{i}p^i(1-p)^{n-i}\\&=\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{n!}{(i-1)!(n-i)!} \cdot p^i(1-p)^{n-i}\\&=np\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{(n-1)!}{(i-1)!(n-i)!}p^{i-1}(1-p)^{}n-i\\&=np(p+1-p)^{n-1}\\&=np \end{aligned}

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### 全概率定理

$$\forall B, \Pr(B)=\sum\limits_{i=1}^{n}\Pr(B \cap E_i)=\sum\limits_{i=1}^{n}\Pr(B|E_i)\cdot \Pr(E_i)$$。

### 贝叶斯定理

$$\Pr(E_j|B)=\dfrac{\Pr(E_j \cap B)}{\Pr(B)}=\dfrac{\Pr(E_j \cap B)}{\sum\limits_{i=1}^{n}\Pr(B|E_i)\cdot \Pr(E_i)}$$

### 二项分布

$$\Pr(Y=i)=\dbinom{n}{i}p^i(1-p)^{n-i}$$

\begin{aligned}E[Y]&=\sum\limits_{i=0}^{n}i\dbinom{n}{i}p^i(1-p)^{n-i}\\&=\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{n!}{(i-1)!(n-i)!} \cdot p^i(1-p)^{n-i}\\&=np\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{(n-1)!}{(i-1)!(n-i)!}p^{i-1}(1-p)^{}n-i\\&=np(p+1-p)^{n-1}\\&=np \end{aligned}