2022丘成桐女子中学生数学竞赛试题()

  • 对于级数\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\sum\limits_{m=1}^{n}\dfrac{1}{n^{\alpha}m^{\beta}}\), 求\(\alpha, \beta\)使级数收敛.
  • 给定椭圆\(C: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\), 求\(C\)的内接六边形面积的最大值.
  • 群\(G\)满足: \(G=\left(a, b\right)\) (\(a, b\)为生成元), \(12a+5b=0\), \(24a+16b=0\).
    (1) 求\(a\)的阶的所有可能值.
    (2) 求群\(G\)在同构意义下的群结构.
  • 在三维空间\(V\)中, \(5\)个两两不同的二维空间两两相交为一维空间, 求交出的一维空间的个数的可能值.
  • (1) 三个整点组成的三角形的面积最小为多少?
    (2) 圆心在原点, 半径为\(R\)的圆上一段长为\(R^{\frac{1}{3}}\)的圆弧上三点的面积最大为多少?
    (3) 在(2)中这段圆弧上至多几个整点?
  • \(n\)阶矩阵的所有元素均为\(\pm 1\), 求所有此类矩阵的行列式的平均值.
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  • 对于级数\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\sum\limits_{m=1}^{n}\dfrac{1}{n^{\alpha}m^{\beta}}\), 求\(\alpha, \beta\)使级数收敛.
  • 给定椭圆\(C: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\), 求\(C\)的内接六边形面积的最大值.
  • 群\(G\)满足: \(G=\left(a, b\right)\) (\(a, b\)为生成元), \(12a+5b=0\), \(24a+16b=0\).
    (1) 求\(a\)的阶的所有可能值.
    (2) 求群\(G\)在同构意义下的群结构.
  • 在三维空间\(V\)中, \(5\)个两两不同的二维空间两两相交为一维空间, 求交出的一维空间的个数的可能值.
  • (1) 三个整点组成的三角形的面积最小为多少?
    (2) 圆心在原点, 半径为\(R\)的圆上一段长为\(R^{\frac{1}{3}}\)的圆弧上三点的面积最大为多少?
    (3) 在(2)中这段圆弧上至多几个整点?
  • \(n\)阶矩阵的所有元素均为\(\pm 1\), 求所有此类矩阵的行列式的平均值.