耍杂技的牛()

耍杂技的牛

农民约翰的 $N$ 头奶牛(编号为 $1 \dots N$)计划逃跑并加入马戏团,为此它们决定练习表演杂技。

奶牛们不是非常有创意,只提出了一个杂技表演:

叠罗汉,表演时,奶牛们站在彼此的身上,形成一个高高的垂直堆叠。

奶牛们正在试图找到自己在这个堆叠中应该所处的位置顺序。

这 $N$ 头奶牛中的每一头都有着自己的重量 $W_i$ 以及自己的强壮程度 $S_i$。

一头牛支撑不住的可能性取决于它头上所有牛的总重量(不包括它自己)减去它的身体强壮程度的值,现在称该数值为风险值,风险值越大,这只牛撑不住的可能性越高。

您的任务是确定奶牛的排序,使得所有奶牛的风险值中的最大值尽可能的小。

输入格式

第一行输入整数 $N$,表示奶牛数量。

接下来 $N$ 行,每行输入两个整数,表示牛的重量和强壮程度,第 $i$ 行表示第 $i$ 头牛的重量 $W_i$ 以及它的强壮程度 $S_i$。

输出格式

输出一个整数,表示最大风险值的最小可能值。

数据范围

$1 \leq N \leq 50000$,$1 \leq W_i \leq 10,000$,$1 \leq S_i \leq 1,000,000,000$

输入样例:

3
10 3
2 5
3 3

输出样例:

2

解题思路

  考虑两头相邻的牛,第$i$个位置上的牛的危险系数为$\sum\limits_{k=1}^{i-1} {w_k} – s_i$,第$i+1$个位置上的牛的危险系数为$\sum\limits_{k=1}^{i} {w_k} – s_{i+1}$。现在交换这两个位置上的牛,交换后只会对第$i$个位置和第$i+1$个位置的危险系数产生影响,其他位置的危险系数不会发生改变。交换后第$i$个位置上的牛的危险系数为$\sum\limits_{k=1}^{i-1} {w_k} – s_{i+1}$,第$i+1$个位置上的牛的危险系数为$\sum\limits_{k=1}^{i-1} {w_k} + w_{i+1}- s_i$。

  第$i$个位置的牛 第$i+1$个位置的牛
交换前 $\sum\limits_{k=1}^{i-1} {w_k} – s_i$ $\sum\limits_{k=1}^{i} {w_k} – s_{i+1}$
交换后 $\sum\limits_{k=1}^{i-1} {w_k} – s_{i+1}$ $\sum\limits_{k=1}^{i-1} {w_k} + w_{i+1}- s_i$

  现在对每一项都加上$s_i + s_{i+1} – \sum\limits_{k=1}^{i-1}$,得到

  第$i$个位置的牛 第$i+1$个位置的牛
交换前 $s_{i+1}$ $w_i + s_{i}$
交换后 $s_{i}$ $w_{i+1} + s_{i+1}$

  假设$w_i + s_{i} > w_{i+1} + s_{i+1}$,又因为$w_i$和$s_i$均为正整数,因此有$w_i + s_{i} > s_{i}$,因此$max \{ {s_{i},w_{i+1} + s_{i+1}} \} < max \{ {s_{i+1},w_i + s_{i}} \}$,因此如果有$w_i + s_{i} > w_{i+1} + s_{i+1}$,那么这两头牛交换位置后危险系数的最大值一定会变小。因此只要相邻两头牛前一个的$w_i + s_{i}$比后一个的大,就交换这两头牛,并且危险系数只会变小不会变大。

  所以如果一个给定的序列的$w_i + s_i$不是严格递增的,那么就交换相邻的逆序对,最终变成一个从小到大递增的序列。并且在交换的过程中危险系数的最大值不会变大。

  AC代码如下:

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 
 4 typedef pair<int, int> PII;
 5 
 6 const int N = 5e4 + 10;
 7 
 8 PII a[N];
 9 
10 int main() {
11     int n;
12     scanf("%d", &n);
13     for (int i = 0; i < n; i++) {
14         int w, s;
15         scanf("%d %d", &w, &s);
16         a[i] = {w + s, s};
17     }
18     
19     sort(a, a + n);
20     
21     int ret = -2e9;
22     for (int i = 0, sum = 0; i < n; i++) {
23         ret = max(ret, sum - a[i].second);
24         sum += a[i].first - a[i].second;
25     }
26     
27     printf("%d", ret);
28     
29     return 0;
30 }

参考资料

  AcWing 125. 耍杂技的牛(算法基础课):https://www.acwing.com/video/317

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耍杂技的牛

农民约翰的 $N$ 头奶牛(编号为 $1 \dots N$)计划逃跑并加入马戏团,为此它们决定练习表演杂技。

奶牛们不是非常有创意,只提出了一个杂技表演:

叠罗汉,表演时,奶牛们站在彼此的身上,形成一个高高的垂直堆叠。

奶牛们正在试图找到自己在这个堆叠中应该所处的位置顺序。

这 $N$ 头奶牛中的每一头都有着自己的重量 $W_i$ 以及自己的强壮程度 $S_i$。

一头牛支撑不住的可能性取决于它头上所有牛的总重量(不包括它自己)减去它的身体强壮程度的值,现在称该数值为风险值,风险值越大,这只牛撑不住的可能性越高。

您的任务是确定奶牛的排序,使得所有奶牛的风险值中的最大值尽可能的小。

输入格式

第一行输入整数 $N$,表示奶牛数量。

接下来 $N$ 行,每行输入两个整数,表示牛的重量和强壮程度,第 $i$ 行表示第 $i$ 头牛的重量 $W_i$ 以及它的强壮程度 $S_i$。

输出格式

输出一个整数,表示最大风险值的最小可能值。

数据范围

$1 \leq N \leq 50000$,$1 \leq W_i \leq 10,000$,$1 \leq S_i \leq 1,000,000,000$

输入样例:

3
10 3
2 5
3 3

输出样例:

2

解题思路

  考虑两头相邻的牛,第$i$个位置上的牛的危险系数为$\sum\limits_{k=1}^{i-1} {w_k} – s_i$,第$i+1$个位置上的牛的危险系数为$\sum\limits_{k=1}^{i} {w_k} – s_{i+1}$。现在交换这两个位置上的牛,交换后只会对第$i$个位置和第$i+1$个位置的危险系数产生影响,其他位置的危险系数不会发生改变。交换后第$i$个位置上的牛的危险系数为$\sum\limits_{k=1}^{i-1} {w_k} – s_{i+1}$,第$i+1$个位置上的牛的危险系数为$\sum\limits_{k=1}^{i-1} {w_k} + w_{i+1}- s_i$。

  第$i$个位置的牛 第$i+1$个位置的牛
交换前 $\sum\limits_{k=1}^{i-1} {w_k} – s_i$ $\sum\limits_{k=1}^{i} {w_k} – s_{i+1}$
交换后 $\sum\limits_{k=1}^{i-1} {w_k} – s_{i+1}$ $\sum\limits_{k=1}^{i-1} {w_k} + w_{i+1}- s_i$

  现在对每一项都加上$s_i + s_{i+1} – \sum\limits_{k=1}^{i-1}$,得到

  第$i$个位置的牛 第$i+1$个位置的牛
交换前 $s_{i+1}$ $w_i + s_{i}$
交换后 $s_{i}$ $w_{i+1} + s_{i+1}$

  假设$w_i + s_{i} > w_{i+1} + s_{i+1}$,又因为$w_i$和$s_i$均为正整数,因此有$w_i + s_{i} > s_{i}$,因此$max \{ {s_{i},w_{i+1} + s_{i+1}} \} < max \{ {s_{i+1},w_i + s_{i}} \}$,因此如果有$w_i + s_{i} > w_{i+1} + s_{i+1}$,那么这两头牛交换位置后危险系数的最大值一定会变小。因此只要相邻两头牛前一个的$w_i + s_{i}$比后一个的大,就交换这两头牛,并且危险系数只会变小不会变大。

  所以如果一个给定的序列的$w_i + s_i$不是严格递增的,那么就交换相邻的逆序对,最终变成一个从小到大递增的序列。并且在交换的过程中危险系数的最大值不会变大。

  AC代码如下:

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 
 4 typedef pair<int, int> PII;
 5 
 6 const int N = 5e4 + 10;
 7 
 8 PII a[N];
 9 
10 int main() {
11     int n;
12     scanf("%d", &n);
13     for (int i = 0; i < n; i++) {
14         int w, s;
15         scanf("%d %d", &w, &s);
16         a[i] = {w + s, s};
17     }
18     
19     sort(a, a + n);
20     
21     int ret = -2e9;
22     for (int i = 0, sum = 0; i < n; i++) {
23         ret = max(ret, sum - a[i].second);
24         sum += a[i].first - a[i].second;
25     }
26     
27     printf("%d", ret);
28     
29     return 0;
30 }

参考资料

  AcWing 125. 耍杂技的牛(算法基础课):https://www.acwing.com/video/317