数组1:二分查找(704)()

       我们知道,数组是非常基础的数据结构,因此刷题一般都从数组方面的题开始。考察数组的题目一般在思维上都不难,主要是考察对代码的掌控能力。因此,解决这种问题的想法很简单,但实现起来往往并不那么容易。

       在做数组题之前,我们要简单了解一下数组相关的理论基础。

       关于数组在内存中的存储方式,首先要知道数组是存放在连续内存空间上的相同类型数据的集合。其中,数组下标都是从0开始的,且数组内存空间的地址是连续的。

       而正因为数组的在内存空间的地址是连续的,所以在删除或者增添元素的时候,通常要移动其他元素的地址。而且,数组的元素是不能删的,只能覆盖。

       另外,在C++中二维数组在地址空间上也是连续的。

       下面我们来看这一题:(链接:https://leetcode.cn/problems/binary-search/)

       题目:给定一个 n 个元素有序的(升序)整型数组 nums 和一个目标值 target  ,写一个函数搜索 nums 中的 target,如果目标值存在返回下标,否则返回 -1。

       思路:我们写二分法容易写乱,主要的原因就是对区间的定义没有想清楚,区间的定义就是不变量。要在二分查找的过程中,保持不变量,就是在while寻找中每一次边界的处理都要坚持根据区间的定义来操作,这就是循环不变量规则。写二分法,区间的定义一般为两种,左闭右闭即[left, right],或者左闭右开即[left, right)。下面对这两种情况分别分析。

       1.左闭右闭区间:

       在这种情况下,while (left <= right) 要使用 <= ,因为left == right是有意义的,所以使用 <=。

       而且,if (nums[middle] > target) right 要赋值为 middle – 1,因为当前这个nums[middle]一定不是target,那么接下来要查找的左区间结束下标位置就是 middle – 1。

       因此,代码如下:

class Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) {
        int left = 0;
        int right = nums.size() - 1; // 定义target在左闭右闭的区间里,[left, right]
        while (left <= right) { // 当left==right,区间[left, right]依然有效,所以用 <=
            int middle = left + ((right - left) / 2);// 防止溢出 等同于(left + right)/2
            if (nums[middle] > target) {
                right = middle - 1; // target 在左区间,所以[left, middle - 1]
            } else if (nums[middle] < target) {
                left = middle + 1; // target 在右区间,所以[middle + 1, right]
            } else { // nums[middle] == target
                return middle; // 数组中找到目标值,直接返回下标
            }
        }
        // 未找到目标值
        return -1;
    }
};

       2.左闭右开区间:

       同样地,如果是在左闭右开区间,while (left < right),这里使用 < ,因为left == right在区间[left, right)是没有意义的。

       而且,if (nums[middle] > target) right 更新为 middle,因为当前nums[middle]不等于target,去左区间继续寻找,而寻找区间是左闭右开区间,所以right更新为middle,即:下一个查询区间不会去比较nums[middle]。

       所以,代码如下:

class Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) {
        int left = 0;
        int right = nums.size(); // 定义target在左闭右开的区间里,即:[left, right)
        while (left < right) { // 因为left == right的时候,在[left, right)是无效的空间,所以使用 <
            int middle = left + ((right - left) >> 1);
            if (nums[middle] > target) {
                right = middle; // target 在左区间,在[left, middle)中
            } else if (nums[middle] < target) {
                left = middle + 1; // target 在右区间,在[middle + 1, right)中
            } else { // nums[middle] == target
                return middle; // 数组中找到目标值,直接返回下标
            }
        }
        // 未找到目标值
        return -1;
    }
};

       总结来看,二分法是非常重要的基础算法,我们写二分法容易出错的主要原因,其实就是对区间的定义没有理解清楚,在循环中没有始终坚持根据查找区间的定义来做边界处理。因此,我们在处理二分法的问题时,要深刻理解二分法,始终坚持循环不变量规则,这样才能做好这类题。

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       我们知道,数组是非常基础的数据结构,因此刷题一般都从数组方面的题开始。考察数组的题目一般在思维上都不难,主要是考察对代码的掌控能力。因此,解决这种问题的想法很简单,但实现起来往往并不那么容易。

       在做数组题之前,我们要简单了解一下数组相关的理论基础。

       关于数组在内存中的存储方式,首先要知道数组是存放在连续内存空间上的相同类型数据的集合。其中,数组下标都是从0开始的,且数组内存空间的地址是连续的。

       而正因为数组的在内存空间的地址是连续的,所以在删除或者增添元素的时候,通常要移动其他元素的地址。而且,数组的元素是不能删的,只能覆盖。

       另外,在C++中二维数组在地址空间上也是连续的。

       下面我们来看这一题:(链接:https://leetcode.cn/problems/binary-search/)

       题目:给定一个 n 个元素有序的(升序)整型数组 nums 和一个目标值 target  ,写一个函数搜索 nums 中的 target,如果目标值存在返回下标,否则返回 -1。

       思路:我们写二分法容易写乱,主要的原因就是对区间的定义没有想清楚,区间的定义就是不变量。要在二分查找的过程中,保持不变量,就是在while寻找中每一次边界的处理都要坚持根据区间的定义来操作,这就是循环不变量规则。写二分法,区间的定义一般为两种,左闭右闭即[left, right],或者左闭右开即[left, right)。下面对这两种情况分别分析。

       1.左闭右闭区间:

       在这种情况下,while (left <= right) 要使用 <= ,因为left == right是有意义的,所以使用 <=。

       而且,if (nums[middle] > target) right 要赋值为 middle – 1,因为当前这个nums[middle]一定不是target,那么接下来要查找的左区间结束下标位置就是 middle – 1。

       因此,代码如下:

class Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) {
        int left = 0;
        int right = nums.size() - 1; // 定义target在左闭右闭的区间里,[left, right]
        while (left <= right) { // 当left==right,区间[left, right]依然有效,所以用 <=
            int middle = left + ((right - left) / 2);// 防止溢出 等同于(left + right)/2
            if (nums[middle] > target) {
                right = middle - 1; // target 在左区间,所以[left, middle - 1]
            } else if (nums[middle] < target) {
                left = middle + 1; // target 在右区间,所以[middle + 1, right]
            } else { // nums[middle] == target
                return middle; // 数组中找到目标值,直接返回下标
            }
        }
        // 未找到目标值
        return -1;
    }
};

       2.左闭右开区间:

       同样地,如果是在左闭右开区间,while (left < right),这里使用 < ,因为left == right在区间[left, right)是没有意义的。

       而且,if (nums[middle] > target) right 更新为 middle,因为当前nums[middle]不等于target,去左区间继续寻找,而寻找区间是左闭右开区间,所以right更新为middle,即:下一个查询区间不会去比较nums[middle]。

       所以,代码如下:

class Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) {
        int left = 0;
        int right = nums.size(); // 定义target在左闭右开的区间里,即:[left, right)
        while (left < right) { // 因为left == right的时候,在[left, right)是无效的空间,所以使用 <
            int middle = left + ((right - left) >> 1);
            if (nums[middle] > target) {
                right = middle; // target 在左区间,在[left, middle)中
            } else if (nums[middle] < target) {
                left = middle + 1; // target 在右区间,在[middle + 1, right)中
            } else { // nums[middle] == target
                return middle; // 数组中找到目标值,直接返回下标
            }
        }
        // 未找到目标值
        return -1;
    }
};

       总结来看,二分法是非常重要的基础算法,我们写二分法容易出错的主要原因,其实就是对区间的定义没有理解清楚,在循环中没有始终坚持根据查找区间的定义来做边界处理。因此,我们在处理二分法的问题时,要深刻理解二分法,始终坚持循环不变量规则,这样才能做好这类题。