[ZJOI2010]排列计数()

题意

求满足 \(\displaystyle \forall i\in [2, n], p_i > p_{\lfloor i / 2\rfloor}\) 的 \(1\sim n\) 的排列 \(p_1, p_2\dots p_n\) 的数量,输出模 \(m\) 后的值。

思路

上述问题可以转化为求节点标号为 \(1\sim n\) 且满足小根堆性质的完全二叉树的数量。

设节点 \(u\) 的两个儿子的标号分别为 \(2u, 2u+1\) 。

由于二叉树的形态已经确定,考虑进行转移。

设 \(F[x]\) 表示以 \(x\) 为根的子树满足题述条件的数量,\(sz(x)\) 表示以 \(x\) 为根的子树的大小。

于是 \(F[u] = \binom{sz(2u)}{sz(u) – 1} F[2u] + F[2u + 1]\) 。

递归计算即可。

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
const int Maxn = 1e6 + 5;
int t[Maxn << 1], n, mod;
int fac[Maxn], ifac[Maxn];
int C(int x, int y)
{
    if (x < 0 || y < 0 || x < y) return 0;
    return (int)((1ll * fac[x] * ifac[x - y] % mod) * ifac[y] % mod);
}
int lucas(int x, int y)
{
    if (y == 0) return 1;
    return (int)(1ll * lucas(x / mod, y / mod) * C(x % mod, y % mod) % mod);
}
void init(int scp, int mod)
{
    fac[1] = fac[0] = ifac[1] = ifac[0] = 1;
    for (int i = 2; i <= scp; i++)
        fac[i] = fac[i - 1] * i % mod,
        ifac[i] = (mod - mod / i) * ifac[mod % i] % mod;
    for (int i = 2; i <= scp; i++)
        ifac[i] = ifac[i - 1] * ifac[i] % mod;
}
void build(int p)
{
    if (p <= n) t[p] = 1;
    if (p >= n) return;
    build(p << 1);
    build(p << 1 | 1);
    t[p] += t[p << 1] + t[p << 1 | 1];
}
int dfs(int p)
{
    if (t[p] == 0) return 1;
    return (1ll * lucas(t[p] - 1, t[p << 1]) * dfs(p << 1) % mod) * dfs(p << 1 | 1) % mod;
}
signed main()
{
    scanf("%lld %lld", &n, &mod);
    init(Maxn - 1, mod);
    build(1);
    printf("%lld\n", dfs(1));
    return 0;
}
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题意

求满足 \(\displaystyle \forall i\in [2, n], p_i > p_{\lfloor i / 2\rfloor}\) 的 \(1\sim n\) 的排列 \(p_1, p_2\dots p_n\) 的数量,输出模 \(m\) 后的值。

思路

上述问题可以转化为求节点标号为 \(1\sim n\) 且满足小根堆性质的完全二叉树的数量。

设节点 \(u\) 的两个儿子的标号分别为 \(2u, 2u+1\) 。

由于二叉树的形态已经确定,考虑进行转移。

设 \(F[x]\) 表示以 \(x\) 为根的子树满足题述条件的数量,\(sz(x)\) 表示以 \(x\) 为根的子树的大小。

于是 \(F[u] = \binom{sz(2u)}{sz(u) – 1} F[2u] + F[2u + 1]\) 。

递归计算即可。

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
const int Maxn = 1e6 + 5;
int t[Maxn << 1], n, mod;
int fac[Maxn], ifac[Maxn];
int C(int x, int y)
{
    if (x < 0 || y < 0 || x < y) return 0;
    return (int)((1ll * fac[x] * ifac[x - y] % mod) * ifac[y] % mod);
}
int lucas(int x, int y)
{
    if (y == 0) return 1;
    return (int)(1ll * lucas(x / mod, y / mod) * C(x % mod, y % mod) % mod);
}
void init(int scp, int mod)
{
    fac[1] = fac[0] = ifac[1] = ifac[0] = 1;
    for (int i = 2; i <= scp; i++)
        fac[i] = fac[i - 1] * i % mod,
        ifac[i] = (mod - mod / i) * ifac[mod % i] % mod;
    for (int i = 2; i <= scp; i++)
        ifac[i] = ifac[i - 1] * ifac[i] % mod;
}
void build(int p)
{
    if (p <= n) t[p] = 1;
    if (p >= n) return;
    build(p << 1);
    build(p << 1 | 1);
    t[p] += t[p << 1] + t[p << 1 | 1];
}
int dfs(int p)
{
    if (t[p] == 0) return 1;
    return (1ll * lucas(t[p] - 1, t[p << 1]) * dfs(p << 1) % mod) * dfs(p << 1 | 1) % mod;
}
signed main()
{
    scanf("%lld %lld", &n, &mod);
    init(Maxn - 1, mod);
    build(1);
    printf("%lld\n", dfs(1));
    return 0;
}